Les ensembles de nombres

Enseignement Les épreuves du CRPE

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Inverse

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.
L'inverse de x (différent de 0) est $\frac{1} {x}$ . En effet $x \times \frac{1} {x} = 1$ .
L'inverse de $\frac{a} {b}$ (a et b différents de 0) est $\frac{b} {a}$ . En effet $\frac{a} {b} \times \frac{b} {a} = \frac{ab} {ba} = 1$ .

Exemple

−2 et −0,5 sont inverses. En effet –2 × (–0,5) = 1.
$\frac{4} {3}$ est l'inverse de $\frac{3} {4}$ . En effet $\frac{4} {3} \times \frac{3} {4} = \frac{4 \times 3} {3 \times 4} = 1$ .

Remarque

Tout nombre non nul possède un inverse.
L'inverse de x se note aussi $x^{-1}$ .
Les calculatrices scientifiques possèdent souvent une touche (

) qui donne l'inverse d'un nombre.

Nombre décimal (positif)

Exemple

2,4 et 3,2 sont des nombres décimaux. On peut les écrire sous forme de fractions décimales : $\frac{24} {10}$ et $\frac{32} {10}$ .

Remarque

Tout nombre entier est un nombre décimal.
Par exemple : $3 = 3,0 = \frac{30} {10} = \frac{300} {100}$ .

Nombre entier (positif)

Les nombres entiers sont des nombres décimaux dont la partie décimale est égale à 0.
Ainsi, 3 qui peut s'écrire aussi 3,0 est un nombre entier.
Les nombres entiers permettent de dénombrer des objets.

Nombre opposé

Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.

Exemple

4 et -4 sont deux nombres opposés.
Sur une droite graduée d'origine O, les deux points A et B, qui ont pour abscisses respectives 4 et –4, sont symétriques par rapport à O.

Remarque

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
Seul le nombre 0 est égal à son opposé.

Nombre rationnel, nombre irrationnel

Sont rationnels tous les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction, c'est-à-dire sous la forme $\frac{a} {b}$ , où a et b sont des nombres entiers relatifs et $b\neq 0$ .
Les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous cette forme sont dits irrationnels.
Rationnels et irrationnels forment l'ensemble des nombres réels.

Exemple

5 ; –29 ; –49,21 ; $\frac{3} {7}$ ; $\sqrt {2}$ et π sont des nombres réels.
Parmi ces nombres réels, seuls 5 ; –29 ; –49,21 et $\frac{3} {7}$ sont rationnels.
$\sqrt {2}$ et π sont des nombres irrationnels.

Remarque

Tout nombre décimal relatif peut s'écrire sous la forme d'une fraction, par exemple : $-28,37 = - \frac{2837}{100}$ . Par conséquent, tout nombre décimal relatif est un nombre rationnel.
A fortiori, tout nombre décimal relatif est un nombre réel.

Nombre relatif

L'ensemble des nombres relatifs est formé des nombres décimaux positifs et des nombres décimaux négatifs.
Les nombres décimaux positifs sont supérieurs à 0 et les nombres négatifs inférieurs à 0 ; 0 est le seul nombre relatif à la fois positif et négatif.

Exemple

Les nombres 3 et 1,5 sont des nombres relatifs positifs.
Les nombres –3 et –1,5 sont des nombres relatifs négatifs.
Les nombres +3 et –3 sont des entiers relatifs ; leur partie décimale est nulle.

Remarque

Les nombres négatifs sont obligatoirement précédés d'un signe moins (–) dans leur écriture chiffrée usuelle, alors que, pour les nombres positifs, le signe plus (+) est facultatif.

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