Enseignement Les épreuves du CRPE
Sujet zéro de mathématiques
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Exercice 1
Un enseignant de moyenne section de maternelle souhaite créer un jeu sur le modèle du jeu de l'oie pour travailler avec ses élèves la construction du nombre et en particulier des décompositions et recompositions de nombres de 1 à 6.
Il fabrique deux dés équilibrés selon les patrons suivants :
Il crée un parcours sur lequel les élèves déplacent un pion selon le protocole suivant :
  • l'élève lance les deux dés ;
  • il avance son pion d'autant de cases que la somme des nombres inscrits sur les faces supérieures des deux dés ; s'il n'obtient aucun nombre sur les deux dés (deux faces vierges), il passe son tour.
Le plateau de jeu est matérialisé par une bande numérique comme ci-dessous.
1. 
On lance le dé vert seul. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 ?
Dans la suite de l'exercice, afin de simplifier les réponses, on pourra considérer que les faces vierges correspondent au nombre 0.
2. 
Un élève lance les deux dés, il calcule la somme des nombres obtenus.
a. Quelles sommes peuvent être obtenues ?
b. Quelle est la probabilité qu'il doive passer son tour ?
c. Quelle est la probabilité qu'il doive avancer de 3 cases ?
d. Déterminer la probabilité de chacun des résultats possibles.
e. Quelle est la probabilité que le résultat du dé vert soit strictement supérieur à celui du dé bleu ?
3. 
Après deux tours de jeu, un élève est arrivé sur la case 10 . Quelle est la probabilité qu'il se soit arrêté sur la case 4 au premier tour ?
Exercice 2
Un nombre décimal est souvent défini de la façon suivante :
« Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire sous la forme \frac{a}{10^{n}} où a est un nombre entier et n est un nombre entier positif. ».
1. 
On s'appuiera sur la définition précédente pour répondre aux deux questions suivantes.
a. Montrer que 0,127 est un nombre décimal.
b. Montrer que \frac{1}{4} est un nombre décimal.
2. 
Dans une classe de CM2 un enseignant demande aux élèves de dire ce qu'est un nombre décimal, voici trois réponses proposées par des élèves :
  • Élève A : « Un nombre décimal est un nombre avec une virgule. »
  • Élève B : « Un nombre décimal est un nombre qui s'écrit avec une fraction qui a 10 ou 100 au dénominateur. »
  • Élève C : « Un nombre décimal est un nombre qui n'est pas entier. »
Expliquer pourquoi chacune des définitions proposées ne convient pas d'un point de vue mathématique. On pourra notamment s'appuyer sur des contre-exemples.
3. Parmi les nombres suivants dire, en justifiant, lesquels sont décimaux et lesquels ne le sont pas : 2,48 ; \frac{7}{25} ; 12 ; \frac{7}{9} ; \frac{49}{14}.
4. Le produit de deux nombres décimaux est-il toujours un nombre décimal ? Justifier.
5. Le quotient de deux nombres décimaux est-il toujours un nombre décimal ? Justifier.
Exercice 3
PARTIE A
Alice veut réaliser une activité avec ses élèves de petite section de maternelle. Elle a besoin de découper 30 disques de 14 cm de rayon dans des feuilles de dimensions 120 cm × 80 cm, c'est-à-dire de 120 cm de longueur sur 80 cm de largeur.
Elle aimerait les dessiner en occupant l'espace de chaque feuille en commençant en haut à gauche puis en continuant comme dans la figure ci-contre.
Cette figure n'est pas à l'échelle.
1. Calculer l'aire de la feuille, en cm2.
2. 
a. Expliquer pourquoi Alice peut tracer au maximum 4 disques dans la longueur de la feuille.
b. En déduire le nombre maximum de disques qu'elle pourra tracer dans cette feuille.
c. Combien faut-il au minimum de feuilles pour dessiner les 30 disques ?
3. Représenter à l'échelle 1/8 une feuille de dimensions 120 cm × 80 cm avec les disques qu'elle peut contenir.
4. Calculer l'aire exacte d'un disque puis donner la valeur arrondie au centimètre carré près.
Dans la suite du problème, on considèrera que l'aire d'un disque est de 616 cm2.
5. 
a. Quelle est l'aire de papier non utilisé si Alice découpe 8 disques dans une feuille ?
Quelle proportion, exprimée en pourcentage et arrondie à l'unité de pourcentage, de l'aire totale de la feuille cela représente-t-il ?
b. Quelle est l'aire de papier non utilisé après avoir découpé 30 disques ?
Quelle proportion, exprimée en pourcentage et arrondie à l'unité de pourcentage, de l'aire totale des feuilles utilisées cela représente-t-il ?
6. Pour limiter le gaspillage de papier, Alice veut choisir le format qui permettra d'obtenir le moins de chutes (en cm2) tout en gardant la même disposition que précédemment. Elle a le choix entre plusieurs formats proposés par un fournisseur :
Nom
Dimensions
Raisin
65 cm × 50 cm
Jésus
75 cm × 56 cm
Imperial
80 cm × 60 cm
Grand Aigle
105 cm × 75 cm
Grand Monde
120 cm × 80 cm

Pour obtenir les 30 disques, le format Grand Aigle permet-il d'obtenir moins de chutes (en cm2) que le format Grand Monde ? Justifier la réponse.
PARTIE B
D'autres classes veulent réaliser la même activité. La directrice se demande quel format permettra d'obtenir moins de chutes en fonction du nombre de disques à découper.
Pour cela, elle utilise un tableur :
1. Sans justifier, donner la formule qui a été saisie dans la cellule B2 et étirée vers le bas.
2. Sans justifier, donner le format permettant d'éviter au mieux le gaspillage de papier si l'on veut réaliser 325 disques.
3. 
Les deux seuls fournisseurs disponibles ne disposent plus que de feuilles au format « Grand Monde ». La directrice veut choisir le fournisseur qui propose le tarif le plus avantageux pour acheter les feuilles nécessaires à la réalisation des disques. On a représenté graphiquement ci-dessous le prix en fonction du nombre de feuilles commandées chez chaque fournisseur :
a. Chez un des deux fournisseurs le coût des feuilles est proportionnel au nombre de feuilles achetées. Lequel ? On justifiera la réponse.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique, sans justifier.
b. Quel est le prix que va coûter l'achat de 15 feuilles chez chaque fournisseur ?
c. Déterminer le nombre maximal de feuilles que l'on peut acheter chez chaque fournisseur si l'on dispose d'un budget de 45 €.
d. À partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur B ?
4. 
On a maintenant représenté sous forme de tableau les tarifs proposés par chaque fournisseur :

Coût d'une feuille (en €)
Frais de port (en €)
Fournisseur A
3,55
Gratuit
Fournisseur B
2,90
14,90

a. Quel est le prix que va coûter l'achat de 15 feuilles chez chaque fournisseur ?
b. Déterminer le nombre de feuilles que l'on peut acheter chez chaque fournisseur si l'on dispose d'un budget de 312 €.
c. À partir de combien de feuilles est-il plus avantageux de commander chez le fournisseur ? Justifier la réponse.
d. Sachant qu'il y a 325 disques à dessiner et que l'on peut en mettre 8 par feuille, quelle entreprise la directrice va-t-elle choisir ? Quel sera le prix de cette commande ?
PARTIE C
1. Après avoir découpé les 30 disques, Alice veut les border d'un fil de laine. Quelle longueur de laine devra-t-elle utiliser pour border tous les disques ? On donnera le résultat en mètre, arrondi au décimètre.
2. 
Alice met 48 minutes à dessiner et découper les 30 disques alors que son collègue Bertrand met 1 heure et 12 minutes à effectuer cette tâche.
a. Donner le temps moyen que met Alice pour découper un disque (en minutes et secondes).
b. Combien de temps mettront-ils pour découper les 30 disques ensemble ? Donner le résultat en minute et seconde.
Exercice 4
Soit M un nombre entier naturel inférieur à 100. On note u le chiffre des unités du nombre M et d son chiffre des dizaines.
Soit N un nombre entier naturel inférieur à 100, ayant le même chiffre d des dizaines que M et tel que son chiffre v des unités vérifie u + v = 10.
Par exemple, pour M = 34, alors N = 36 vérifie ces conditions.
Pour M et N vérifiant les conditions ci-dessus, on propose d'utiliser l'algorithme ci-dessous pour calculer le produit M × N .
Algorithme de calcul
  • On calcule le produit de d et de l'entier suivant d + 1.
  • On calcule le produit de u et de v.
  • On ajoute au produit de u et de v, 100 fois le produit de d et de l'entier suivant d + 1.
1. Vérifier en détaillant les calculs que cet algorithme fonctionne pour 34 × 36.
2. Démontrer que cet algorithme de calcul donne effectivement le résultat escompté pour tous les couples de nombres M et N vérifiant les conditions mentionnées en début d'exercice. On pourra utiliser les égalités M = 10d + u et N = 10d + v.
3. Montrer comment on peut utiliser cet algorithme de calcul, en détaillant les calculs, pour calculer mentalement 4,2 × 4,8.
Exercice 5
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s'appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
  • la croix M est située à 30 m du mur d'enceinte de l'école (MR = 30 m) ;
  • la croix L est située à 40 m du mur d'enceinte de l'école (LS = 40 m) ;
  • les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).
Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L'enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l'épreuve soit équitable, l'enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c'est-à-dire des croix L et M.
1. Construire à l'échelle le plan de la cour avec les points M, L, R et S en choisissant comme échelle 1 cm pour 5 m.
2. 
a. Sur la figure, construire le point T, milieu du segment [ML]. Tracer la droite perpendiculaire à (ML) et passant par T. On note C le point d'intersection de cette droite avec le mur.
b. Justifier que le point C est le point de contact cherché.
c. Mesurer la longueur RC sur le plan et en déduire une estimation de la distance entre les points R et C dans la cour de récréation.
3. 
On note x la distance, exprimée en mètre, entre les points R et C dans la cour de récréation.
a. Déterminer les longueurs MC et CL en fonction de x.
b. En déduire la distance entre les points R et C dans la cour de récréation.
Exercice 5
On propose un jeu dans une cour de récréation.
Pour cela on s'appuie sur des croix peintes au sol comme indiquée sur le schéma ci-contre :
  • la croix M est située à 30 m du mur d'enceinte de l'école (MR = 30 m) ;
  • la croix L est située à 40 m du mur d'enceinte de l'école (LS = 40 m) ;
  • les points R et S sont distants de 50 m (RS = 50 m).
Mila, une élève, se trouve sur la croix M et Lucien, un autre élève, se trouve sur la croix L. L'enseignante souhaite que Mila et Lucien courent tous les deux vers un même point de contact au mur ; le gagnant sera le premier à toucher ce point sur le mur. Pour que l'épreuve soit équitable, l'enseignante souhaite que le point de contact soit à égale distance des positions initiales des deux élèves, c'est-à-dire des croix L et M.
1. Construire à l'échelle le plan de la cour avec les points M, L, R et S en choisissant comme échelle 1 cm pour 5 m.
2. 
a. Sur la figure, construire le point T, milieu du segment [ML]. Tracer la droite perpendiculaire à (ML) et passant par T. On note C le point d'intersection de cette droite avec le mur.
b. Justifier que le point C est le point de contact cherché.
c. Mesurer la longueur RC sur le plan et en déduire une estimation de la distance entre les points R et C dans la cour de récréation.
3. 
On note x la distance, exprimée en mètre, entre les points R et C dans la cour de récréation.
a. Déterminer les longueurs MC et CL en fonction de x.
b. En déduire la distance entre les points R et C dans la cour de récréation.
Corrigé

Corrigé

Exercice 1
1. Sur le dé vert de 6 faces, le nombre 3 est inscrit sur deux faces : si on considère que le dé vert est équilibré, la probabilité d'obtenir 3 est donc de \frac{2}{6}= \frac{1}{3}
2. 
a. 
Dressons le tableau n° 1 des 36 issues équiprobables possibles lorsque l'on lance les deux dés et qu'on considère la somme des nombres obtenus, ce qui permettra de répondre plus aisément aux questions suivantes :
Les sept sommes pouvant être obtenues sont tous les entiers de 0 à 6.
b. Il doit passer son tour s'il obtient aucun nombre sur les deux dés (somme 0 dans le tableau).
La probabilité qu'il doive passer son tour est de \frac{1}{36}
c. Il avance de 3 cases si la somme de ses points est égale à 3
3 = 0 + 3 (2 chances sur 36)
3 = 1 + 2 (4 chances sur 36)
3 = 2 + 1 (1 chance sur 36)
3 = 3 + 0 (2 chances sur 36)
donc il avance de 3 cases avec une probabilité de \frac{9}{36} = \frac{1}{4}
d. Dressons le tableau de la probabilité d'obtenir chaque somme à partir du tableau n° 1 :
Somme des deux dés
0
1
2
3
4
5
6
Total
Probabilité
\frac{1}{36}
\frac{3}{36} = \frac{1}{12}
\frac{5}{36}
\frac{9}{36} = \frac{1}{4}
\frac{8}{36} = \frac{2}{9}
\frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\frac{4}{36} = \frac{1}{9}
\frac{36}{36} = 1

e. 
Le résultat du dé vert est strictement supérieur à celui du dé bleu dans les cas surlignés en jaunes dans le tableau n° 1 :
Donc avec une probabilité de \frac{12}{36} = \frac{1}{3}
3. Sachant qu'il est sur la case 10 après deux tours du jeu (événement noté E), il a pu obtenir comme somme des dés :
4 au 1er tour et 6 au 2e tour : événement n° 1 noté E1
6 au 1er tour et 4 au 2e tour : événement n° 2 noté E2
5 au 1er tour et 5 au 2e tour : événement n° 3 noté E3
Les lancers des deux tours étant indépendants, les événements ci-dessus ont respectivement une probabilité de :
p (E1) = \frac{2}{9} \times \frac{1}{9}~= \frac{2}{81}~= p (E2 ; p (E3) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}~= \frac{1}{36}
E1, E2 et E3 étant des événements incompatibles (qui ne peuvent se produire simultanément),
P (E) = p (E1) + p (E2) + p (E3)
P (E) = 2 \times \frac{2}{81} + \frac{1}{36} = \frac{4 \times 4}{81 \times 4} = \frac{1 \times 9}{36 \times 9} = \frac{16}{324} + \frac{9}{324} = \frac{25}{324}
La probabilité qu'il se soit arrêté sur la case 4 au premier tour sachant qu'il est sur la case 10 est donc égale à \frac{p(E_1)}{p(E)} = \frac{\frac{2}{81}}{\frac{25}{324}} = \frac{2}{81} \times \frac{324}{25} = \frac{2}{81} \times \frac{81 \times 4}{25} = \frac{8}{25} = 32 %
Remarque : cette question porte sur les probabilités d'événements conditionnels au programme de la classe de 1re au lycée. La question revient à calculer pE (E2) = \frac{p (E \cap E_{2})}{p(E)}\,= \frac{p (E_2)}{p(E)}
Exercice 2
1. 
a. 0,127 = \frac{127}{1000}. Par conséquent 0,127 est un nombre décimal puisqu'il existe un entier a = 127 et un entier n = 3 tel que 0,127 = \frac{127}{10^3} = \frac{a}{10^n}
b. \frac{1}{4} = \frac{25}{100}\,; par conséquent \frac{1}{4} est un nombre décimal puisqu'il existe un entier a = 25 et un entier n = 2 tel que \frac{1}{4} = \frac{a}{10^{n}}
2. 
L'élève A pourrait penser que les nombres entiers (comme 7) ou les nombres décimaux écrits sous forme fractionnaire (comme \frac{1}{4}) ne sont pas décimaux puisqu'ils ne s'écrivent pas (ou pas toujours !) avec une virgule. C'est pourquoi sa définition est mathématiquement incorrecte (bien qu'elle soit largement répandue).
L'élève B pourrait penser qu'un nombre décimal a au maximum deux chiffres dans sa partie décimale (nombres décimaux qu'il fréquente en CM1).
D'autre part, il peut considérer que les fractions \frac{3}{4} ou \frac{1}{2} non écrites sous la forme d'une fraction décimale, ne sont pas des décimaux alors qu'ils le sont. C'est pourquoi sa définition est mathématiquement incorrecte.
L'élève C ne perçoit pas l'inclusion de l'ensemble des entiers dans les décimaux et ne sait pas que tous les nombres qui ne sont pas entiers comme \frac{1}{3} ou \pi ne sont pas décimaux. C'est pourquoi sa définition est mathématiquement incorrecte.
3. 
Parmi les nombres suivants dire, en justifiant, lesquels sont décimaux et lesquels ne le sont pas : 2,48 ; 7/25 ; 12 ; 7/9 ; 49/14.
2,48 = \frac{248}{100} = \frac{238}{10^2} est un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
\frac{7}{25} = \frac{7 \times 4}{25 \times 4} = \frac{28}{10^2} est un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
\frac{7}{9} n'est pas un nombre décimal : on peut le justifier en utilisant la propriété suivante « une fraction irréductible est l'écriture d'un nombre décimal si et seulement si la décomposition en facteurs premiers de dénominateur ne contient que les facteurs 2 et 5 » ce qui n'est pas le cas ici puisque 9 = 32.
On peut aussi le justifier par le fait que la division de 7 par 9 donne un quotient dont la partie décimale contient une infinité de chiffres.
\frac{49}{14} = \frac{7 \times 7}{7 \times 2} = \frac{7}{2} = \frac{35}{15} est un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
4. 
Soient d = \frac{a}{10^n} et d' = \frac{a'}{10^{n'}} deux nombres décimaux : leur produit est donc égal à :
\frac{a}{10^{n}} \times \frac{a'}{10^{n'}} = \frac{a \times a'}{10^{n + n'}}.
Le produit a × a' est un nombre entier puisque c'est un produit de deux nombres entiers.
10n+n' est une puissance de 10, par conséquent \frac{a \times a'}{10^{n +n'}} est l'écriture d'un nombre décimal d'après la définition rappelée en début d'exercice.
5. 
De nombreux contre-exemples montrent que le quotient de deux décimaux n'est pas un nombre décimal comme 0,1 : 0,3 = 1 : 3 = \frac{1}{3}.
Exercice 3
PARTIE A
1. Aire d'une feuille = 120 cm × 80 cm = 9 600 cm2
2. 
a. Chaque disque a un rayon de 14 cm, donc un diamètre de 28 cm.
Si les disques sont tangents (se touchent en un point), on pourra donc en disposer sur la longueur de 120 cm de la feuille au maximum la partie entière du quotient de 120 par 28 soit 4 disques.
b. Par un raisonnement analogue, la partie entière du quotient de 80 par 28 indique qu'on ne peut mettre que deux disques sur la largeur de la feuille.
Finalement, elle ne pourra tracer que 4 × 2 = 8 disques sur une feuille.
c. 
30 = 3 × 8 + 6
Elle aura donc besoin au minimum de 4 feuilles pour dessiner les 30 disques.
À l'échelle \frac {1}{8} :
La longueur d'une feuille soit un segment de 120 cm est représenté par un segment de 120 cm : 8 = 15 cm
La largeur d'une feuille soit un segment de 80 cm est représenté par un segment de 80 cm : 8 = 10 cm
Le rayon du cercle soit un segment de 14 cm est représenté par un segment de 14 cm : 8 = 1,75 cm
4. L'aire d'un disque de rayon r est donnée par la formule \pi × r^{2}
Aire d'un disque de rayon 14 cm est égale à \pi×142 cm2 = 196  \pi cm2 \approx 616  cm2
5. 
a. Aire de huit disques \approx 616 cm2 × 8 \approx 4 928  cm2
Aire du papier non utilisée dans une feuille de 8 disques = aire de la feuille — aire de huit disques \approx 9 600 cm2 − 4 928 cm2 \approx 4 672 cm2.
\frac {4\,672\,\mathrm{cm}^2} {9\,600\,\mathrm{cm}^2} = \frac {4\,672}{9\,600} \approx 49 %
b. Sur 3 feuilles sont tracés 8 disques → 3 × 4 672 cm2 \approx 14 016 cm2
Sur la 4e feuille, ne sont tracés que 6 disques donc l'aire du papier non utilisé dans la 4e feuille est d'environ 9 600 cm2 − 6 × 616 cm2 \approx 9 600 − 3 696 cm2 \approx 5 904 cm2
L'aire totale du papier non utilisée est d'environ de
14 016 cm2 + 5904 cm2 \approx 19 920 cm2.
\frac {19\,920\,\mathrm{cm}}{4\,\times 9\,600\,\mathrm{cm}^2} \approx \frac {19\,920}{38\,400} \approx 52 %
L'aire du papier non utilisé représente environ 52 % de l'aire totale des 4 feuilles.
6. 105 = 3 × 28 + 21
75 = 2 × 28 + 19
Dans une feuille de format Grand aigle, on pourra découper 3 × 2 = 6 disques.
Pour obtenir les 30 disques, on aura donc besoin de 5 feuilles.
Sur chaque feuille la proportion de papier non utilisé est de \frac {105\,\times\,75-6\,\times\,616}{105\,\times\,75} \approx \frac {3\,696}{7\,875} \approx \frac {4\,179}{7\,865} \approx 53 %
Pour obtenir les 30 disques, on aura donc besoin de 5 feuilles et sur chacune d'entre elle seront découpés 6 disques donc il y aura 53 % de papier non utilisé donc un peu plus de chutes que dans le format Grand Monde.
PARTIE B
1. La formule saisie dans la cellule B2 et étirée vers le bas est = 616*A2.
2. C'est le format Jésus qui permet au mieux de réduire le gaspillage du papier.
3. 
a. Chez le fournisseur A, la représentation du prix en fonction du nombre de feuilles commandées est une droite passant par l'origine ce qui prouve que le coût des feuilles est proportionnel au nombre de feuilles achetées.
b. Par lecture graphique,
  • avec le fournisseur A, le coût de 15 feuilles est d'environ 53 €
  • avec le fournisseur B, le coût de 15 feuilles est d'environ 58 €
c. Par lecture graphique, on peut obtenir un maximum de 10 feuilles avec le fournisseur A et 12 feuilles avec le fournisseur B.
d. Par lecture graphique, il semble que pour 23 feuilles, le coût avec les deux fournisseurs est le même et que le fournisseur B est plus avantageux à partir de 24 feuilles
4. 
a. Avec le fournisseur A, on va payer 3,55 € × 15 = 53,25 €
Avec le fournisseur B, on va payer 2,90 € × 15 + 14,90 € = 58,40 €
b. 312 € : 3,55 € \approx 87,89
On pourra donc acheter 87 feuilles avec le fournisseur A si l'on dispose d'un budget de 321 €.
c. 312 € − 14,90 € = 297,10 €
297,10 € : 2,90 € \approx 102,45
On pourra donc acheter 102 feuilles avec le fournisseur B si l'on dispose d'un budget de 321 €.
d. Soit n un entier désignant un nombre de feuilles.
f : n \longmapsto 3,55 n est la fonction linéaire qui associe à n le prix à payer en € avec le fournisseur A.
g : n \longmapsto 2,9 n est la fonction affine qui associe à n le prix à payer en € avec le fournisseur B.
Il est plus avantageux de commander chez le fournisseur B si et seulement si :
g(n) \leq f(n)
\Leftrightarrow 2,9n + 14,9 \leq 3,55n
\Leftrightarrow+14,9 \leq 3,55n − 2,9n
\Leftrightarrow 14,9 \leq 0,65n
\Leftrightarrow 14,9 : 0,65 \leq 0,65n
\Leftrightarrow 22,93 … \leq n
Il est plus avantageux de commander chez le fournisseur B à partir de 23 feuilles.
e. 325 = 8 × 40 + 5
La directrice doit donc commander 41 feuilles et choisira le fournisseur B plus avantageux dans ce cas. Elle paiera : 41 × 2,90 € + 14,90 € = 133,80 €
PARTIE C
1. Le périmètre d'un disque de rayon r est égal à 2 × \pi × r
La longueur de laine sera donc égale à 30 × 2 × \pi × 0,14 m \approx 26,4 m
2. 
a. La durée moyenne de découpage d'un disque par Alice est de 48 min : 30 = 1,6 min = 1 min + 0,6 × 60 s = 1 min 36 s
b. Considérons qu'Alice et Bertrand travaillent très régulièrement, que leur vitesse de découpage de disques est constante.
Bertrand met 1 h 12 min = 72 min pour découper 30 disques.
Pendant le même temps de 72 min, Alice découpe \frac{72 \times 30}{48} = 45 disques
À eux deux, ils découpent en 72 minutes en moyenne 30 disques + 45 disques = 75 disques.
À eux deux, ils découpent en moyenne 30 disques en
\frac{(72 \times 30)}{75}\,min = 28,8 min = 28 min + 0,8 min = 28 min + 60 × 0,8 s = 28 min 48 s
Exercice 5
1. Sur le plan de la cour, 1 cm représente 5 m en réalité
RM = 30 m = 6 × 5 m : les points R et M seront distants de 6 cm sur le plan ;
RS = 50 m = 10 × 5 m : les points R et S seront distants de 10 cm sur le plan ;
SL = 40 m = 8 × 5 m : les points S et L seront distants de 8 cm sur le plan.
2. 
a. 
b. Le point de contact étant à égale distance des positions initiales des deux élèves, c'est-à-dire des croix L et M est le point d'intersection de la médiatrice du segment [ML] et du mur, c'est-à-dire le point de la perpendiculaire au segment  [ML] passant par son milieu T et du mur représenté par le segment [RS].
c. La distance entre R et C est environ de 6,4 cm sur le plan soit en réalité de 6,4 × 5 = 32 m.
3. 
a. 
Comme C est un point du segment [RS], RC = x \\ SC = RS - RC = 50 - x
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle RMC rectangle en R :
MC2 = RM2 + RC2 = 900 + x2 d'où MC = \sqrt {900 + x^{2}}
Appliquons le théorème de Pythagore au triangle SCL rectangle en S :
CL2 = SC2 + SL2 = (50 − x)2 + 1600 d'où CL = \sqrt {(50 - x)^2 + 1600}
b. C étant à égale distance de M et de L, MC = CL d'où MC2 = CL2 d'où :
900 + x2 = (50 − x)2 + 1600
900 + x2 = 2500 − 100x + x2 + 1600
100x = 2500 + 1600 − 900
100x = 3200
x = 32
La distance entre les points R et C est de 32 m