1) On considère d'abord le document 1.

a. Décrire deux procédures possibles des élèves en réponse à la question 1.

b. Quelle propriété le maître souhaite-t-il faire émerger en proposant cette situation ? Citer une difficulté qui peut faire obstacle à l'émergence de cette propriété ?

c. Pourquoi la consigne préalable aux questions 2, 3 et 4 précise-t-elle que la droite tracée ne doit pas être parallèle aux bords de la feuille ?

d. En prolongement de la question 4 du document 1, indiquer quel est l'ensemble constitué par tous les points situés à 7 cm de la droite ?

2) On considère maintenant le document 2 (copie d'écran).

Pour procéder à une synthèse de l'activité précédente, l'enseignant décide de projeter sur tableau blanc une figure réalisée avec un logiciel de géométrie dynamique. Le point P peut alors être déplacé sur la droite, et la distance AP s'afficher, comme sur la copie d'écran. Le point A et la droite peuvent également être déplacés.

Quel avantage peut apporter ce support, pour la connaissance visée, par rapport au dessin sur feuille des élèves ?

Observer les trois problèmes présentés dans l'annexe 2.

1) Dans quel cycle de l'école primaire ces problèmes pourraient-ils être traités ? Justifier la réponse.

2) Proposer deux erreurs différentes de procédure que pourraient commettre des élèves dans le problème n° 1.

3) Indiquer les principales étapes de la procédure que pourrait adopter un élève pour résoudre le problème n° 2.

4) Quelles connaissances supplémentaires par rapport aux deux problèmes précédents, la résolution du problème n° 3 suppose-t-elle ?

Document 1 Extrait d'un manuel de cycle 3 (Cap Maths, éd. Hatier, 2004.)

Document 2 Copie d'écran (logiciel de géométrie dynamique)

Extrait d'un manuel de la collection Cap maths éd. Hatier, 2004.

a. Si on considère les 3 « tranches » de 9 cubes chacune, on obtient 27 petits cubes contenus dans le grand.

b. Pour connaître le volume d'un petit cube, il suffit de diviser le volume du grand par le nombre de petits, soit :  = 8.
Chaque petit cube a un volume de 8 cm³.

c. Puisqu'il s'agit de cubes, toutes les arêtes, a, sont isométriques. Le volume d'un petit cube est donc a³.
a³ = 8 d'où a = 2.
Chaque arête du petit cube mesure 2 cm.
Chaque arête du grand cube mesure 6 cm.
Vérification : le volume du grand cube est 6³, soit 216 cm³.
On retrouve bien la valeur donnée dans l'énoncé.

d. 

Nombre de faces décorées	0	1	2	3	4	5	6
Nombre de petits cubes	1	6	12	8	0	0	0

e. En utilisant le tableau précédent :
(6 × 1) + (12 × 2) + (8 × 3) = 54.
Il y a 54 petites faces décorées.
Cela correspond bien au nombre de faces de petits cubes sur les 6 faces du grand (9 × 6).

a. Chaque petit cube a un volume de 8 cm³.
On retire 8 cubes de 8 cm³ au volume initial, soit 64 cm³.
216 − 64 = 152.
Le nouveau volume est de 152 cm³.

b. L'aire du cube amputé des petits cubes des sommets est la même que celle du cube entier, puisque les faces dégagées laissent apparaître d'autres faces, d'aire équivalente, qui étaient jusque-là cachées.
Par conséquent, l'aire du cube correspond à l'aire d'une face (36 cm²) multipliée par le nombre de faces.
36 × 6 = 216 cm².

1) 

2) La première méthode employée par le maître était la construction par les élèves, d'une solution experte à partir de leurs solutions personnelles. Cette construction se faisait par groupes, les élèves étaient en activité de découverte par manipulation.
Dans le second cas, on est davantage dans une situation frontale d'enseignement, avec démonstration. C'est une autre entrée pédagogique, qui peut parfois sécuriser certains élèves, leur apporter les éléments qui leur manquaient pour progresser.
L'avantage de ce logiciel est de montrer de manière dynamique les relations qui existent entre la position du point P et la distance AP. On est dans la même situation que les élèves qui procédaient par essai au début, mais avec bien plus de latitude, puisque le logiciel offre la possibilité de retours en arrière.
Ensuite, le logiciel doit permettre de faire apparaître l'angle du segment [AP] et de la droite, ainsi que sa relation avec la distance entre A et P. Il s'agit de l'étape classique de mise en commun, non pas de productions figées, mais mais dynamiques, qui permettent de comprendre non seulement un résultat, mais une démarche.

a. La question est peu précise et mérite d'être reformulée. En effet, Pierre ne peut pas « donner 34 points à Jean » avec ses seuls jetons bleus.
Il s'agit en fait de savoir comment faire pour que Jean ait 34 points avec les jetons rouges qu'il possède déjà et les jetons bleus que Pierre va lui donner.
On peut procéder en postulant que Jean a un maximum de jetons rouges, et que Pierre complète. Ainsi, Pour 34 points, Jean ne peut avoir plus de 4 jetons, (à partir de 5 jetons, il aurait 35 points).
Si Jean a 4 jetons rouges, il possède 28 points, il lui en manque donc 6 pour en avoir 34, soit 2 × 3.
Pierre lui donnera donc 2 jetons, soient 6 points (et pas « 34 » comme l'indique l'énoncé).
C'est une solution possible, il peut y en avoir d'autres.

b. Posons les deux équations correspondant à cette affirmation.
Si x est le nombre de jetons rouges et y le nombre de jetons bleus :
x + y = 29 ;
7x + 3y = 94.
x = 29 − y ;
7 (29 − y) + 3y = 94 ;
203 − 7y + 3y = 94 ;
109 = 4y ;
y = 27, 25.
Ce résultat n'est pas un nombre entier. Il ne peut donc correspondre à un nombre de jetons.

c. Partant de la démarche de la question 1) a. nous déterminerons les solutions en débutant par le nombre maximum possible de jetons rouges.
Si Céline a 4 jetons rouges, (4 × 7 = 28), il lui manque 6 points, soient 2 jetons bleus.
Si Céline a 3 jetons rouges, (3 × 7 = 21) il lui manque 13 points, mais 13 n'est pas un multiple de 3.
Si Céline a 2 jetons rouges, (2 × 7 = 14) il lui manque 20 points, mais 20 n'est pas un multiple de 3.
Si Céline a 1 jeton rouge, (1 × 7 = 7) il lui manque 27 points, soient 9 jetons bleus (3 × 9).
Si Céline a 0 jeton rouge, (0 × 7 = 0) il lui manque 34 points, mais 34 n'est pas un multiple de 3.
Les deux solutions possibles sont donc :

• 4 jetons rouges et 2 jetons bleus ;
• et 1 jeton rouge et 9 jetons bleus.

1) Cette question trouve sa place au cycle 3 où, dans le domaine grandeurs et mesures, il est demandé « d'utiliser le calcul pour obtenir la mesure d'une grandeur et d'effectuer des calculs simples sur les mesures […] en particulier [dans le but de] calculer le périmètre d'un polygone ».
La combinaison de ces deux champs de compétences correspond aux exercices proposés.

2) La donnée « 10 cm » n'est pas nécessaire pour résoudre le problème, puisque l'indication « 12 cm » suffit. Elle peut même constituer un piège, pour l'élève qui l'utilise à mauvais escient et déduit que la largeur du petit rectangle correspond à la moitié de la largeur du grand, soit 5 cm.
Il est possible aussi que, commettant une erreur d'appréciation, l'élève ne pense pas à diviser 12 par 3. Comptant 3 rectangles, il cherche alors un multiple de 3 et propose 3 cm comme largeur des petits rectangles.
Il est peu probable qu'une erreur soit commise sur les 6 cm, la figure faisant apparaître de façon claire le rapport entre la longueur du grand rectangle, mentionnée en haut et les longueurs des petits rectangles situés juste au-dessous.

3) L'élève peut d'abord chercher la longueur de chaque étiquette, sachant que 3 longueurs correspondent à 18 cm. Il trouve donc 6 cm.
Ensuite, il calculera la mesure de deux longueurs d'étiquettes afin de les soustraire à la largeur du grand rectangle.
2 × 6 = 12 ;
16 − 12 = 4.
Il en déduira que deux largeurs d'étiquette mesurent 4 cm et qu'une largeur en mesure 2.

4) Dans la dernière question, l'élève doit connaître les propriétés du périmètre d'un carré, puisqu'on ne lui donne pas la valeur des longueurs des côtés.
Par ailleurs, le tour du carré étant complet, se fait jour une difficulté supplémentaire pour l'élève, qui doit déterminer « par où commencer », ce qui n'est pas le cas à l'exercice précédent, guidé.
La résolution de l'exercice 3 sera facilité pour l'élève, si celui-ci a d'abord effectué l'exercice n°2, qui lui permet d'avoir une méthode à appliquer.