Enseignement Les épreuves du CRPE
Les agrandissements et les réductions
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Agrandissement ou réduction de rapport k
Agrandissement ou réduction de rapport k
Si l'on multiplie toutes les dimensions d'un objet par un nombre k strictement positif, on dit qu'on a effectué :
  • un agrandissement de rapport k si k   >  1 ;
  • une réduction de rapport k si k   <  1.
Propriété
En agrandissant ou en réduisant un objet, on obtient un objet de même nature géométrique.
Ainsi, en réduisant ou en agrandissant un carré, on obtient un carré. En réduisant ou en agrandissant un cylindre de révolution, on obtient un cylindre de révolution.
Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k  :
  • l' aire d'une surface est multipliée par k 2  ;
  • le volume d'un solide est multiplié par k 3.
Exemple
On coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base. La distance de ce plan à la base est égale à \frac{2}{3} de la hauteur de la pyramide. La petite pyramide ainsi obtenue a un volume de 18 cm3. On veut calculer le volume de la pyramide de départ.

On sait qu'en coupant une pyramide par un plan parallèle à sa base, on obtient une petite pyramide qui est une réduction de la grande ; calculons le rapport de réduction.
Puisque \mathrm{HH'}=\frac{2}{3}\mathrm{SH}, \mathrm{SH'}=\frac{1}{3}\mathrm{SH}  ; par conséquent le rapport de réduction est égal à \frac{1}{3}. La grande pyramide est donc un agrandissement de la petite de rapport 3.
Par suite, le volume de la grande pyramide est égal à : 18  ×  33  = 18  ×  27, soit 486 cm3.